함수의 극한과 연속 응용 문제

문제

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$와 함수 $g(x)$가 있다. 함수 $g(x)$는 다음과 같이 정의된다. $g(x) = \lim_{t \to \infty} \frac{x^{2t} + (x-2)^{2t+1}}{x^{2t} + (x-2)^{2t}}$ 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(3)$의 값을 구하시오.

(가) $f(0)=0, f(1)=0$ (나) 함수 $h(x) = f(x)g(x)$는 모든 실수 $x$에서 연속이다. (다) $f(2)=2$