함수의 극한과 연속 - 고난도 문제

문제

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 있다. 함수 $g(x)$를 다음과 같이 정의하자. $g(x) = \begin{cases} \frac{f(x)}{x-1} & (x < 1) \\ f(x-1) & (x \ge 1) \end{cases}$ 함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에서 연속이고 $g(0)=4$일 때, $f(2)$의 값은?