함수의 불연속성과 곱함수의 연속성 조건을 이용한 미정계수 및 함수값 계산

문제

두 상수 $a, b$에 대하여 함수 $f(x)$가 다음과 같이 정의된다. $f(x) = \begin{cases} x^2+ax-1 & (x < 1) \\ \frac{x^2-4x+3}{x-1} & (1 \le x < 3) \\ x^2-bx+5 & (x \ge 3) \end{cases}$ 함수 $g(x)$는 최고차항의 계수가 1인 이차함수이다. 함수 $h(x) = f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 다음 조건을 만족한다.

(가) $f(x)$는 $x=1$에서 불연속이다. (나) $f(x)$는 $x=3$에서 불연속이다. (다) $f(-1) = 0$ (라) $f(4) = 9$

$a+b+g(4)$의 값을 구하시오.