다층적 연속성 조건 만족하는 미정계수 문제

문제

함수 $f(x)$가 다음과 같이 정의된다. $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{ax^2+b}-2}{x-1} & (x > 1) \\ x^2-x+c & (x \le 1) \end{cases}$ 함수 $g(x) = (x-1)f(x)$가 모든 실수 $x$에 대해 연속이고, 함수 $f(x)$ 또한 $x=1$에서 연속이다. 또한 $a+c=5$일 때, 상수 $b$의 값은?