연속 함수 조건 활용 문제

문제

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$와 함수 $g(x)$, $h(x)$가 다음과 같이 정의된다.

$g(x) = \begin{cases} \frac{f(x)}{x-1} & (x \neq 1) \\ m & (x=1) \end{cases}$

$h(x) = \begin{cases} |x-2|g(x) & (x < 2) \\ p & (x=2) \\ \frac{f(x)}{x-2} & (x > 2) \end{cases}$

두 함수 $g(x)$와 $h(x)$가 모두 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $a+b+c$의 값을 구하시오.