함수의 연속성을 이용한 미정계수 결정 문제

문제

함수 $f(x)$가 다음과 같이 정의된다. $f(x) = \begin{cases} x+2 & (x < 1) \\ ax-1 & (x \ge 1) \end{cases}$ 함수 $g(x) = f(x) f(x-k)$가 모든 실수 $x$에서 연속이 되도록 하는 양수 $k$와 상수 $a$가 존재할 때, $a+k$의 값은? (단, $a$는 상수이다.)