연속함수의 성질을 이용한 미정계수 결정 문제

문제

함수 $f(x)=x^2+ax+b$와 함수 $g(x)$가 다음과 같이 정의된다. $g(x) = \begin{cases} \frac{x^2+mx-6}{x-2} & (x \neq 2) \\ 3 & (x=2) \end{cases}$ 함수 $h(x)=f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이고, $f(0)g(0)=12$일 때, $a+b+m$의 값은?