정적분으로 정의된 함수의 극값 및 적분 계산

문제

삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $g(x) = \int_0^x (x-t) f(t) dt$ 라 하자. 함수 $g(x)$가 $x=1$에서 극댓값을 가지며 그 값은 $1$이고, $x=3$에서 극솟값을 가지며 그 값은 $-27$이다. 이때, $\int_0^2 f(x) dx$의 값을 구하시오.