삼차함수의 극값, 접선 및 정적분의 성질 활용의 정답은?

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삼차함수의 극값, 접선 및 정적분의 성질 활용

삼차함수의 도함수, 접선의 성질, 정적분의 부호, 그리고 넓이 조건을 종합하여 함수식을 구하고 특정 값을 계산하는 문제입니다.

2026학년도 수능고등학교 2학년

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문제

최고차항의 계수가 $a$ 인 삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$ 는 $x=1$ 과 $x=3$ 에서 극값을 갖는다. (나) 곡선 $y=f(x)$ 는 $x$ 축에 $x=3$ 에서 접한다. (다) 모든 실수 $k \ge 0$ 에 대하여 $\int_0^k f(x)dx \ge 0$ 이다. (라) 닫힌 구간 $[0,4]$ 에서 곡선 $y=f(x)$ 와 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $16$ 이다.