정적분으로 정의된 함수의 성질 추론 문제

문제

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $g(x) = \int_c^x f(t)dt$ 라 하자. 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(3)$의 값을 구하시오. (단, $c$는 상수이다.)

(가) 함수 $g(x)$는 $x=0$에서 극솟값을 갖는다. (나) 함수 $g(x)$는 $x=k$에서 극댓값 $3$을 갖는다. (다) 함수 $g(x)$는 $x=m$에서 극솟값 $-1$을 갖는다. (라) $k$와 $m$은 서로 다른 양의 정수이다. (마) 함수 $f(x)$의 최고차항 계수는 $10$보다 크다.