수능 수학II 킬러 문항: 적분과 삼차함수의 관계

문제

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$와 함수 $g(x) = \int_0^x f(t) dt$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0)=0$ (나) 함수 $g(x)$는 $x=2$에서 극댓값 $M$을 가지고, $x=k$에서 극솟값 $m$을 갖는다. (다) $\int_0^k f(x) dx = \frac{1}{2} \int_0^2 f(x) dx$

$f(1)+f(3)$의 값을 구하시오.