절댓값 함수와 정적분의 최솟값

문제

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $y=|f(x)|$의 그래프가 $x=0$과 $x=2$에서 모두 극소이다. 정적분으로 정의된 함수 $g(a) = \int_a^{a+2} f'(x) dx$의 최솟값이 $k$일 때, $3k$의 값을 구하시오.