삼차함수와 정적분으로 정의된 함수의 성질

문제

최고차항의 계수가 $c$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0) = 0$ (나) 함수 $F(x) = \int_0^x f(t) dt$는 $x=2$에서 극대이다. (다) 곡선 $y=f(x)$와 $y=f'(x)$는 $x=1$에서 만난다. (라) $\int_0^1 f(x) dx = \frac{1}{2}$

이때, $F(3)$의 값을 구하시오.