정적분으로 정의된 함수와 다항함수의 성질

문제

함수 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $-1$인 삼차함수이다. 함수 $g(x)$는 $g(x) = \int_{0}^{x} (x-t) f(t) dt$ 로 정의된다. 함수 $f(x)$는 $x=1$에서 극솟값, $x=3$에서 극댓값을 가지며, 함수 $g(x)$는 $x=2$에서 극솟값을 갖는다. 이때, $\int_{0}^{4} f(x) dx$ 의 값은?