적분으로 정의된 함수의 극점 조건

문제

최고차항의 계수가 $C$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $g(x) = \int_0^x (x-t)f'(t)\, dt$ 로 정의하자. 다음 조건들을 만족할 때, $\frac{f(2)}{f'(1)}$의 값을 구하시오. (단, $C \neq 0$이다.)

(가) $f(0)=0$ (나) 함수 $g(x)$는 $x=1$에서 극솟값 $0$을 갖는다. (다) 함수 $g(x)$는 $x=k$에서 극댓값을 가지며, $k \neq 1$이다.