수능 수학II 적분 고난도 문제: 다항함수의 성질과 적분

문제

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $F(x) = \int_0^x f(t) dt$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $F(x)$는 $x=1$에서 극댓값을 갖고, $x=3$에서 극솟값을 갖는다.

(나) 어떤 상수 $k$에 대하여 함수 $G(x) = \int_0^x |F(t)-k| dt$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

$f(0)$의 값은?