정적분으로 정의된 함수의 관계식 문제

문제

함수 $f(x)$는 모든 실수 $x$에 대해 연속이고 $x \neq 0$인 모든 실수 $x$에 대해 미분가능하다. $\int_0^1 f(x)dx=0$ 이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) + \int_1^{x^2} \frac{f(\sqrt{t})}{\sqrt{t}} dt = x^3 + Ax - 1$ 을 만족시킬 때, 상수 $A$의 값은? (단, $e^{-2} = \frac{1}{9}$ 이다.)