적분으로 정의된 함수의 미분가능성 및 극대극소 분석

문제

최고차항의 계수가 $A$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여, 함수 $F(x) = \int_0^x f(t) dt$ 라 하자. 함수 $g(x) = |F(x)|$ 가 $x=k$ ($k \ne 0$)에서만 미분가능하지 않고, 함수 $f(x)$는 $x=1$에서 극댓값을 가지며 $f(1)=1$ 이다. 이때, $F(k+1)$ 의 값은?