정적분으로 정의된 함수와 다항함수

문제

연속함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 다음과 같이 정의한다. $g(x) = x \int_0^x f(t) dt - \int_0^x t f(t) dt$ 함수 $g(x)$가 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수이며, $g'(x)$는 $x=1$에서 극솟값을 가진다. 또한, $g(1)=0$일 때, $f(2)$의 값은?