삼차함수와 정적분으로 정의된 함수의 최솟값

문제

최고차항의 계수가 음수인 삼차함수 $f(x)$가 다음 두 조건을 만족시킨다. (가) $f(x)$는 $x=-1$에서 극솟값 $1$을 갖는다. (나) $f(x)$는 $x=1$에서 극댓값 $3$을 갖는다. 함수 $g(x) = \int_0^x f(t) dt$에 대하여, 닫힌 구간 $[-1, 1]$에서 $g(x)$의 최솟값은?