적분으로 정의된 함수와 다항함수의 성질

문제

최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$와 함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) = \int_0^x (x-t)f(t)dt$ 를 만족시킨다. 함수 $g(x)$가 $x=1$에서 극솟값 $-\frac{1}{12}$을 가질 때, $f(2)$의 값은?