지수, 로그 성질과 자연수 조건 추론 문제

문제

자연수 $k$ ($k \ge 2$)와 자연수 $a, b, c$ ($a, b, c \ge 1$)에 대하여, 세 자연수 $x=k^a, y=k^b, z=k^c$가 다음 두 조건을 만족한다.

(가) $\log_{\sqrt{x}} (y^2)$ 은 자연수이다. (나) $\log_{y^3} (z^4)$ 는 유리수 $p/q$ ($p, q$는 서로소인 자연수) 이다.

또한, $x, y, z$는 모두 서로 다른 자연수이며, $a+b+c=10$ 이다.

이때, $\log_x (yz)$ 의 최댓값을 구하시오.