지수와 로그의 심화 조건 문제

문제

자연수 $n \ (n \ge 2)$에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족시키는 모든 자연수 $n$ 값의 합을 구하시오.

(가) $\sqrt[n]{2^{24} \cdot 3^{48-2n}}$은 어떤 자연수의 제곱이다. (나) $\log_{\sqrt{n}} \left( \frac{1024}{n^2} \right)$은 자연수이다.