지수와 로그의 정수 조건 문제

문제

자연수 $n$ ($n \ge 2$)에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족시키는 $n$의 값을 구하시오.

(가) $A = \sqrt[n]{2^{24} \cdot 3^{36}}$ 은 자연수이다.

(나) $\log_{A^2} \left( (2^6 \cdot 3^{10}) \cdot n^k \right)$ 이 정수가 되는 자연수 $k$가 존재한다.