지수와 로그 조건을 만족하는 두 자연수의 합 최댓값

문제

두 자연수 $a, b$ ($a>1, b>1$)에 대하여 집합 $S$를 다음과 같이 정의하자. $S = \{ x \mid x \text{는 자연수이고, } \log_a x \text{는 정수이며, } \log_b x \text{는 정수} \}$ 집합 $S$의 원소의 개수를 $N(a, b)$라 하자. 두 자연수 $a, b$가 다음 조건을 모두 만족할 때, $a+b$의 최댓값을 구하시오.

(가) $a \neq b$ (나) $N(a, b) = 3$ (다) $\log_a b$는 자연수이다. (라) 집합 $S$의 원소 중 최댓값은 $2500$ 이하이다. 즉, $\max_{x \in S} x \le 2500$이다.