지수와 로그의 심층 추론 문제

문제

자연수 $N$이 $2 \le N \le 100$을 만족하고, 자연수 $a, b$가 다음 세 가지 조건을 모두 만족할 때, $a+b$의 최댓값을 구하시오.

(가) $\log_2 \left( \sqrt[a]{N^b} \right)$ 은 자연수이다.

(나) $\log_b (N^a)$ 는 자연수이다.

(다) $\sqrt[N]{a^b}$ 은 소수이다.