지수와 로그의 정수 조건을 이용한 순서쌍 개수 세기

문제

두 자연수 $a, b$가 $1 < a \le 30$이고 $1 < b \le 30$을 만족한다. 다음 두 조건을 모두 만족시키는 순서쌍 $(a, b)$의 개수를 구하시오. (단, $k$는 $2 \le k \le 10$인 자연수이다.)

(가) $\sqrt[k]{a^b}$은 자연수이다. (나) $\log_{a^2} (b^3)$은 정수이다.