자연수 N에 대한 지수와 로그 조건 문제

문제

1이 아닌 자연수 $N$에 대하여 다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 $N$을 찾고, 그 $N$에 대하여 $A \cap B$의 모든 원소의 합을 구하시오. (단, $N$은 10보다 작은 자연수이다.)

(가) 집합 $A = \left\{ k \mid k \text{는 } 1 \le k \le 100 \text{인 자연수이고, } \log_N k \text{가 유리수이다} \right\}$의 원소의 개수는 6개이다.

(나) 집합 $B = \left\{ k \mid k \text{는 } 1 \le k \le 100 \text{인 자연수이고, } \sqrt[k]{N^3} \text{이 자연수이다} \right\}$의 원소의 개수는 4개이다.