지수함수와 로그함수의 정수 조건 추론

문제

자연수 $a$ ($a \ge 2$)에 대하여 함수 $f(x) = a^x$의 그래프 위에 서로 다른 두 점 $P(x_1, y_1)$과 $Q(x_2, y_2)$가 있다. 다음 조건을 만족할 때, $y_1 + y_2 + k + m$의 최솟값을 구하시오.

(가) $x_1, x_2$는 정수이며 $x_1 < x_2$이다. (나) $y_1, y_2$는 자연수이다. (다) 자연수 $k$ ($k \ge 2$)에 대하여 $y_2 = k \cdot y_1$ 이다. (라) 정수 $m$에 대하여 $\log_k (y_2 - y_1) = m$ 이다.