지수와 로그, 정수 조건 추론 고난도 문제

문제

양의 정수 $k$와 정수 $a, b$에 대하여, 다음 조건을 만족하는 상수 $k, a, b$가 존재할 때, $a+b+k$의 값을 구하시오.

(가) 이차함수 $f(x) = x^2 - 12x + k$ 에 대하여, $\left( \frac{1}{2} \right)^{f(x)}$ 이 자연수가 되도록 하는 정수 $x$의 개수는 5개이다. (나) (가)를 만족하는 모든 정수 $x$에 대하여 $g(x) = \log_2 (x^2+ax+b)$ 의 값이 정수이다. (다) (가)를 만족하는 정수 $x$에 대하여 $x^2+ax+b$ 의 최솟값은 $m$, 최댓값은 $M$ 이고, $g(m) \cdot g(M) = 6$ 이다. (단, $g(m)$은 $m$에 대한 $\log_2 m$ 값이고 $g(M)$은 $M$에 대한 $\log_2 M$ 값이다.)