세 자연수 조건의 지수와 로그 추론 문제

문제

세 자연수 $A, B, C$가 $A, B, C \ge 2$이고 $A, B, C \le 100$을 만족하며, 다음 세 가지 조건을 모두 만족시킨다.

(가) $\sqrt[A]{B^3}$은 자연수이다. (나) $\log_B C^2$은 유리수이고, 그 값을 $m$이라 할 때, $m$은 양의 정수가 아니다. (다) $\log_C (AB)$는 자연수이다.

이때, $A+B+C$의 최댓값은?