세 로그 방정식과 자연수 조건

문제

양의 실수 $A, B, C$와 서로 다른 세 자연수 $k, m, n$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\log_{A^k} 2 = \log_{B^m} 4 = \log_{C^n} 8$ (나) $A \cdot B \cdot C = 2^{29}$ (다) $A^k \cdot B^m \cdot C^n = 2^{90}$ (라) $k+m+n = 10$

$kmn$의 값은?