네 자연수 a, b, c, k에 대한 지수와 로그 문제

문제

자연수 $a, b, c$는 $2$ 이상의 정수이고, $k$는 $2$ 이상의 자연수이다. 다음 세 조건을 만족하는 $a, b, c, k$에 대하여 $a+b+c+k$의 값을 구하시오.

(가) $k^3$은 $100$보다 크고 $200$보다 작다.

(나) 두 함수 $y=\log_a x$와 $y=\log_b x$가 있다. 점 $P_1(k, \log_a k)$와 $Q_1(k^2, \log_a k^2)$를 지나는 직선을 $L_a$, 점 $P_2(k, \log_b k)$와 $Q_2(k^2, \log_b k^2)$를 지나는 직선을 $L_b$라 하자. $L_a$의 기울기는 $L_b$의 기울기의 $2$배이고, $L_a$의 기울기는 $\frac{1}{k(k-1)}$이다.

(다) 집합 $S = \{ x \mid x \text{는 자연수이고, } \exists y \in \mathbb{N} \text{ (자연수) 에 대하여 } y = \log_c x \text{ 및 } y^2 \le \log_c k^2 \text{ 이 성립한다} \}$의 원소의 개수는 $2$이다.