지수와 로그의 심화 추론 및 최솟값 문제

문제

$k, m, n$은 $2$ 이상의 자연수이고, 다음 세 조건을 만족시킨다.

(가) $\sqrt[m]{k}$는 자연수이다. (나) $\log_{k^2} n$은 자연수이다. (다) $\log_n k = \frac{p}{q}$ (단, $p, q$는 서로소인 자연수). 이때 $p+q = 5$이다.

$m+n$의 최솟값을 구하시오.