지수와 로그의 심층 탐구

문제

세 자연수 $a, b, c$ (단, $a, b, c \ge 2$)가 다음 세 조건을 모두 만족시킬 때, $a+b+c$의 최솟값은?

(가) $\sqrt[k]{a}$가 유리수가 되는 자연수 $k \ (k \ge 2)$가 존재한다.

(나) $\log_b c$가 자연수인 $p \ (p \ge 1)$가 존재한다.

(다) $\log_c a^2$가 자연수인 $q \ (q \ge 1)$가 존재한다.