자연수 a, b에 대한 지수와 로그 조건 문제

문제

두 자연수 $a, b$가 다음 조건을 모두 만족시킨다. (단, $a, b$는 1보다 크고 1000 이하의 자연수이다.)

(가) $\sqrt[n]{a}$가 자연수가 되도록 하는 자연수 $n$의 개수는 3개이다. (나) $\log_b a = \frac{p}{q}$를 만족하는 서로소인 두 자연수 $p, q$에 대하여 $p+q=5$이다.

$a+b$의 최댓값은?