자연수의 거듭제곱근과 로그 조건 만족하는 수 찾기

문제

자연수 $N$ ($N > 1$)의 소인수분해가 $N = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$일 때, 다음 두 함수를 정의한다.

1. 함수 $f(N)$: $\sqrt[k]{N}$이 자연수가 되도록 하는 자연수 $k$ ($k \ge 2$)의 개수
2. 함수 $g(N)$: $\log_m N$이 자연수가 되도록 하는 자연수 $m$ ($m \ge 2$)의 개수

$f(N) = 5$이고 $g(N) = 6$을 만족하는 가장 작은 자연수 $N$의 값을 구하시오.