지수와 로그 조건 만족시키는 자연수 n 구하기

문제

자연수 $n$ (단, $n \ge 2$)에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 모든 $n$ 값의 합을 구하시오.

(가) $\left( \frac{n^3}{k} \right)^{1/n}$ 이 자연수가 되도록 하는 자연수 $k$ 의 개수가 $2$ 이다. (나) $\log_{k^2} \left( \frac{n^{10}}{k} \right)$ 이 정수가 되도록 하는 $k$ 값 중 가장 작은 자연수 $k$ 가 존재한다.