지수와 로그의 자연수 조건 심화 문제

문제

자연수 $n$ ($n \ge 2$)에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족시키는 모든 $n$의 값의 합을 구하시오.

(가) $\sqrt[n]{2^{30} \cdot 3^{20} \cdot 5^{10}}$이 자연수이다.

(나) $\log_{n^2} (2^k \cdot 5^j)$이 자연수가 되도록 하는 자연수 $k, j$ 중 $k+j$의 최솟값은 6이다.