지수와 로그의 자연수 조건 심화 문제

문제

두 자연수 $m, n$에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족시키는 순서쌍 $(m, n)$의 개수를 구하시오.

(가) $2^{\frac{m}{n}}$은 자연수이다.

(나) $\log_{m} (n^2)$은 자연수이다.

단, $2 \le m \le 10$이고 $2 \le n \le 10$이다.