지수와 로그 활용 고난도 문제

문제

두 자연수 $a, b$ (단, $a, b \ge 2$)에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족하는 $a, b$가 존재한다.

(가) $\left(\frac{a^{12}}{b^{10}}\right)^{\frac{1}{k}}$ 이 자연수가 되도록 하는 자연수 $k$ (단, $k \ge 2$)의 개수는 6이다. (나) $\log_{\frac{a}{b}} (ab^2)$ 의 값은 정수이다.

이때, 가능한 모든 $ab$ 값의 합을 구하시오. (단, $a, b$는 특정 자연수 $K$의 거듭제곱으로 표현된다고 가정하며, 지수 $x, y$는 서로소인 상태로 가장 작은 값을 가진다.)