지수와 로그의 정수 조건 탐색

문제

자연수 $m, n$이 $2 \le n \le 10$을 만족시킨다. 두 조건 (가)와 (나)를 동시에 만족시키는 순서쌍 $(m, n)$의 개수를 구하시오.

(가) $\sqrt[n]{(2^m \cdot 3^{m+1})^3}$ 이 자연수이다. (나) $\log_2 \left( 4^n \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^m \right)$ 이 자연수이다.