지수와 로그의 정수 조건 활용 문제

문제

$a$는 $a>1$인 실수이고, $m, n$은 $m \ge 2, n \ge 2$인 자연수이다.

다음 두 조건을 만족시키는 $a$에 대하여 $m \cdot n = 6$일 때, 가능한 $a$의 최솟값을 구하시오.

(가) $a^{\frac{1}{m}}$은 자연수이다. (나) $\log_a (n^4)$은 정수이다.