최고차항 계수가 1인 삼차함수의 미분가능성

문제

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$와 실수 $k$에 대하여 함수 $g(x) = (x-k)|f(x)|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

<보기> ㄱ. $f(k) = 0$ 이면 $f'(k) = 0$ 이다. ㄴ. $f'(k) = 0$ 이면 $f(k) = 0$ 이다. ㄷ. $f(x)$가 극값을 갖는다면, $f'(k) = 0$ 이다.