삼차함수의 도함수와 근의 관계 추론 문제

문제

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x)=0$의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 하자. 단, $\alpha < \beta$이다. 함수 $y=f(x)$의 그래프가 $x=\alpha$에서 $x$축에 접하고, 방정식 $f(x)=f(\beta)$의 서로 다른 모든 실근의 합이 $10$일 때, $\beta-\alpha$의 값을 구하시오.