킬러 문제: 4차 함수와 미분 가능성

문제

최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f'(x)=0$은 서로 다른 세 실근을 갖는다. (나) $f(0)=0$ (다) 함수 $g(x)=|f(x)-k|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지 않은 점이 오직 한 개 존재하도록 하는 실수 $k$가 오직 한 개 존재한다. 이때, 이 $k$ 값을 $k_0$라 하자.

$f(4)$의 값을 구하시오.