미분 가능성과 함수의 추론

문제

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0)=0$ (나) 함수 $f(x)$는 두 개의 극값을 가지며, $f'(x)=0$의 두 실근을 $a,b$라 할 때, $a+b=2$이다. (다) $f(a)+f(b)=-4$ (라) 어떤 양수 $k$에 대하여 함수 $g(x) = \left|\left|f(x)\right|-k\right|$는 미분 가능하지 않은 점이 정확히 5개이다.

$k$의 최댓값이 $M$일 때, $f(M)$의 값을 구하시오.