미분 가능성을 이용한 킬러 문항

문제

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 다음 조건을 만족한다.

(가) 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$는 $x=1$과 $x=3$에서 근을 갖는다. (나) $f(0)=4$ (다) 함수 $g(x)=|f(x)-k|$가 미분가능하지 않은 점의 개수는 $1$이다. (라) 함수 $h(x)=|f(x)-m|$이 미분가능하지 않은 점의 개수는 $3$이다. (마) $k$와 $m$은 양의 정수이며, $k$는 $m$보다 큰 최소의 정수이다.

$k+m$의 값은?