사차함수의 미분가능성과 극값을 활용한 상수 k 값 구하기

문제

최고차항의 계수가 1인 사차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$는 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f(-x)$를 만족한다. (나) $f(1)=-3$이고, $x=1$에서 극솟값을 갖는다. (다) 함수 $g(x) = |f(x) - k|$가 모든 실수 $x$에 대하여 미분가능하도록 하는 상수 $k$의 값을 구하시오.