절댓값 함수와 미분 가능성

문제

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0)=0$이고 $f'(0)=0$이다. (나) 함수 $g(t)$를 방정식 $f(x)=t$의 서로 다른 실근의 개수라고 할 때, $g(t)=3$을 만족시키는 $t$의 값의 범위는 $0<t<4$이다. (다) 함수 $h(x) = |f(x) - f(p)|$가 미분가능하지 않은 점의 개수가 1이 되도록 하는 양수 $p$가 오직 하나 존재한다.

$f(2p)$의 값을 구하시오.